Chứng minh các bất đẳng thức sau:1, x3 y3 $\ge$x2y xy2 (x, y $\ge$0)2, x4 y4 $\ge$x3y xy3 3, a2 b2 1$\ge$ab a b4, a2 b2 c2 $\frac{3}{4}$$\ge$a b c5,a2 b2 c2 d2$\ge$a(b c d)6, x3-4x 5...

1

LG

lê gia bảo

21 tháng 3 2019

$1,\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0$)
$\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge o$

NT

Nguyễn Thị Mỹ vân

27 tháng 8 2021

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a²+b²+c²+abc=4 .Chứng minh rằng :

$abc+2\ge ab+bc+ca\ge abc$

#Toán lớp 11

1

HP

Hồng Phúc

27 tháng 8 2021

Giả sử $c\le1$.

Khi đó: $ab+bc+ca-abc=ab\left(1-c\right)+c\left(a+b\right)\ge0$

$\Rightarrow ab+bc+ca\ge abc\left(1\right)$

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn với $a=2,b=c=0$.

Theo giả thiết:

$4=a^2+b^2+c^2+abc\ge2ab+c^2+abc$

$\Leftrightarrow ab\left(c+2\right)\le4-c^2$

$\Leftrightarrow ab\le2-c$

Trong ba số $\left(a-1\right),\left(b-1\right),\left(c-1\right)$ luôn có hai số cùng dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử $\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0$.

$\Rightarrow ab-a-b+1\ge0$

$\Leftrightarrow ab\ge a+b-1$

$\Leftrightarrow abc\ge ca+bc-c$

$\Rightarrow abc+2\ge ca+bc+2-c\ge ab+bc+ca\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)\Rightarrow$ Bất đẳng thức được chứng minh.

TV

trần vũ hoàng phúc

8 tháng 6 2023

chứng minh: a²+b²+c²$\ge$ab+bc+ca với mọi a,b,c

2

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

8 tháng 6 2023

=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0

=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0(luôn đúng)

NH

Nguyễn Hoàng Duy

8 tháng 6 2023

Xét hiệu a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=1/2.2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)

=1/2(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)

=1/2[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)]
=1/2.[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]

vì (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0
nên 1/2.[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]>=0
hay a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc >=0<=> a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc

a) Chứng minh nếu x + y + z = 0 thì x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz.b) Áp dụng. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:P = ( a 2 + b 2 ) 3 + ( c 2 - a 2 ) 3 - ( b 2 + c 2 ) 3 ...

PT

Pham Trong Bach

21 tháng 3 2017

Đọc tiếp

1

CM

Cao Minh Tâm

21 tháng 3 2017

DP

Đõ Phương Thảo

8 tháng 2 2021

cho a,b,c >0, a²+b²+c²=1

cmr : $\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{a+c}+\dfrac{c^3}{a+b}\ge\dfrac{1}{2}$

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

8 tháng 2 2021

$VT=\dfrac{a^4}{ab+ac}+\dfrac{b^4}{ab+bc}+\dfrac{c^4}{ac+bc}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}$

$VT\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{1}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Đúng(5)

D

๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG

24 tháng 4 2021

Cho ba số a,b,c $\ge-2$ thỏa mãn a² + b²+c² + abc = 0. CMR a=b=c=0

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

24 tháng 4 2021

- Nếu $abc\ge0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge0$ dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=0$

- Nếu $abc< 0\Rightarrow$ trong 3 số a; b; c có ít nhất 1 số âm

Không mất tính tổng quát, giả sử $c< 0\Rightarrow ab>0$

Mà $\left\{{}\begin{matrix}-2\le c< 0\\ab>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow abc\ge-2ab$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+b^2-2ab+c^2=\left(a-b\right)^2+c^2>0$ (không thỏa mãn)

Vậy $a=b=c=0$

Đúng(2)

TT

Trần Thị Vân Anh

22 tháng 1 2021

tam giác ABC có 3 cạnh a,b,c

a) a²+b²+c²< 2(ab+bc+ca)

b) abc$\ge$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

#Toán lớp 10

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

23 tháng 1 2021

a.

Theo BĐT tam giác: $c< a+b\Rightarrow c^2< ac+bc$

$b< a+c\Rightarrow b^2< ab+bc$ ; $a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac$

Cộng vế với vế: $a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)$

b.

Do a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên: $\left\{{}\begin{matrix}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{matrix}\right.$

$\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le\dfrac{1}{4}\left(a+b-c+b+c-a\right)^2=b^2$

Tương tự: $\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\le c^2$ ; $\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\le a^2$

Nhân vế với vế:

$\left(abc\right)^2\ge\left[\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right]^2$

$\Leftrightarrow abc\ge\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)\left(b+c-a\right)$

LN

Lê Ngọc Gia Hân

19 tháng 2 2022

a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2)

#Toán lớp 9

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

19 tháng 2 2022

a: $VT=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2$

$=a^2c^2+a^2d^2+b^2d^2+b^2c^2$

$=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)$

$=\left(c^2+d^2\right)\left(a^2+b^2\right)$

b: Bạn ghi lại đề đi bạn

LT

Lê Thị Thảo

1 tháng 2 2020

a) (x-y)(x4+x3y+x2y2+xy3+y4) = x5 - y5

b) (x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) = x5 + y5

c) (a +b)(a3 - a2b + ab2 - b3) = a4 - b4

d) (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3

#Toán lớp 7

1

DM

Đoàn Minh Đức

1 tháng 2 2020

a) (x-y)(x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴) = x(x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴)-y(x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴) =(x⁵+x⁴y+x³y²+x²y²+xy⁴)-(x⁴y+x³y²+x²y²+xy⁴+y⁵) = x⁵+x⁴y+x³y²+x²y²+xy⁴-x⁴y-x³y²-x²y²-xy⁴-y⁵ =x⁵-y⁵⇒Điều cần chứng minh

Các câu b d tương tự

LT

Lê Thị Thảo

2 tháng 2 2020

cảm ơn bạn nhiều

A

Ashley

4 tháng 5 2023

Cho biết a + b =1. Chứng minh a² + b² $\ge$ $\dfrac{1}{2}$ . Đẳng thức xảy ra khi nào?

Chi tiết một chút giúp em nha mn.

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

4 tháng 5 2023

Lời giải:

$a^2+b^2=(a^2-a+\frac{1}{4})+(b^2-b+\frac{1}{4})+(a+b-\frac{1}{2})$

$=(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2+(a+b-\frac{1}{2})$

$\geq a+b-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Vậy $a^2+b^2\geq \frac{1}{2}$
Giá trị này đạt tại $a-\frac{1}{2}=b-\frac{1}{2}=0$

$\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

A

Ashley

4 tháng 5 2023

Tại sao lại suy ra được hai dòng cuối vậy ạ?

XB

X Buồn X

23 tháng 5 2018

a) Cho các số a, b, c thỏa mãn:a + b + c = 3/2. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ≥ 3/4.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 2xy – 6x – 8y + 2028?

3

MS

Mashiro Shiina

24 tháng 5 2018

Khởi động nhẹ nhàng thôi:v

$a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{3}{4}$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2-a-b-c\ge\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{4}$

$\Rightarrow\left(a^2-a+\dfrac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\dfrac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\dfrac{1}{4}\right)\ge0$

$\Rightarrow\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(c-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0$ (đúng)

$"="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}$

PK

Phùng Khánh Linh

24 tháng 5 2018

a) C1. Áp dụng BĐT : ( x - y)² ≥ 0 ∀xy

Ta có : a² + b² ≥ 2ab ( 1)

b² + c² ≥ 2bc ( 2)

c² + a² ≥ 2ac ( 3)

Từ ( 1 ; 2 ; 3) ⇒ 2( a² + b² + c²) ≥ 2( ab + ab + ac)

⇔ 3( a² + b² + c²) ≥ ( a + b + c)²

⇔ a² + b² + c² ≥ $\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{9}{4}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c = $\dfrac{1}{2}$

C2. Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta có :

( a² + b² + c²)( 1² + 1² + 1²) ≥ ( a + b + c)²

⇔ a² + b² + c² ≥ $\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{9}{4}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c = $\dfrac{1}{2}$